声子在量子力学的波函数没有彼此重叠干涉, 視為可區分性的粒子
奈米尺度液体层之似扩散热传分析 (Investigation of heat transfer of nanoscale liquid layer in the quasi-diffusive region) (Investigation of heat transfer of nanoscale liquid layer in the quasi-diffusive region) 計畫編號： NSC 93 － 2212 － E － 007 － 034 计画编号： NSC 93 － 2212 － E － 007 － 034 執行期限：93/08/01 94/07/31 执行期限：93/08/01 94/07/31 主持人：許文震清華大學動力機械工程學系教授 主持人：许文震清华大学动力机械工程学系教授 一、摘要： 一、摘要： 本計畫以分子動力學探討奈米尺度液體 本计画以分子动力学探讨奈米尺度液体 層之似擴散熱傳現象，系統進入似擴散熱傳 层之似扩散热传现象，系统进入似扩散热传 區域內，傳統的傅立葉熱擴散定律將無法成 区域内，传统的傅立叶热扩散定律将无法成 立，本研究發現除了液體層厚度為主要因素 立，本研究发现除了液体层厚度为主要因素 外，系統壓力的影響也不能忽略。 外，系统压力的影响也不能忽略。 在有溫差 在有温差 的系統中，我們取氬與水分子為工作流體， 的系统中，我们取氩与水分子为工作流体， 上、下底為溫度不同的白金原子壁面，壁與 上、下底为温度不同的白金原子壁面，壁与 壁的間隙長度為奈米尺度。 壁的间隙长度为奈米尺度。 為了進一步探討 为了进一步探讨 正、負壓力的影響，我們將氬處於液、氣共 正、负压力的影响，我们将氩处于液、气共 存區域。 存区域。 結果發現在靠近白金壁面的流體分 结果发现在靠近白金壁面的流体分 子由於分子間的吸引力皆會有晶格化的現象 子由于分子间的吸引力皆会有晶格化的现象 產生，但程度不同，主因是溫度影響晶格化 产生，但程度不同，主因是温度影响晶格化 的產生。 的产生。 對於傅立葉定律在薄層流體的適用 对于傅立叶定律在薄层流体的适用 性探討方面，主要的系統參數為具溫度梯度 性探讨方面，主要的系统参数为具温度梯度 的流體厚度及系統壓力。 的流体厚度及系统压力。 結果顯示在正壓力 结果显示在正压力 區的流體厚度在5nm 以下時，傅立葉熱擴散 区的流体厚度在5nm以下时，傅立叶热扩散 定律即無法成立，溫度不再為線性分佈，流 定律即无法成立，温度不再为线性分布，流 體溫度變化有集中在兩個溫度不同的固體壁 体温度变化有集中在两个温度不同的固体壁 面，溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻射之 面，温度分布界于传统的热传导与热辐射之 間，但在負壓力區，此厚度尺度下(4nm)傅立 间，但在负压力区，此厚度尺度下(4nm)傅立 葉定律仍舊是有效的。 叶定律仍旧是有效的。 關鍵詞：分子動力學、奈米尺度、似擴散熱 关键词：分子动力学、奈米尺度、似扩散热 傳、傅立葉定律 传、傅立叶定律 Abstract Abstract The method of molecular dynamics is The method of molecular dynamics is adopted to investigate the quasi-diffusive heat adopted to investigate the quasi-diffusive heat transfer phenomena of a thin fluid layer with transfer phenomena of a thin fluid layer with the thickness of nanometers. Both water the thickness of nanometers. Both water molecules and argon atoms are chosen as the molecules and argon atoms are chosen as the working fluids for the problem of interest. To working fluids for the problem of interest. To study the physical phenomena in the regions of study the physical phenomena in the regions of positive and negative pressure, the argon and positive and negative pressure, the argon and the platinum atoms are arranged to simulate the platinum atoms are arranged to simulate the system in which the platinum atoms are the system in which the platinum atoms are placed on the top and the bottom layers and the placed on the top and the bottom layers and the argon atoms are filled inside the clearance argon atoms are filled inside the clearance between the platinum layers. The thickness of between the platinum layers. The thickness of the system is of nanometers. It is found that the system is of nanometers. It is found that the argon atoms near the platinum walls are the argon atoms near the platinum walls are crystallized due to a great attractive force crystallized due to a great attractive force between the argon and platinum atoms, but the between the argon and platinum atoms, but the temperature greatly influences the process of temperature greatly influences the process of crystallization. Besides the thickness of fluid, crystallization. Besides the thickness of fluid, the pressure is found to be a significant effect the pressure is found to be a significant effect for the validity of the Fourier's law. The for the validity of the Fourier's law. The results show that the Fourier's law is not valid results show that the Fourier's law is not valid for the thicknesses of fluid below 5nm in the for the thicknesses of fluid below 5nm in the region of positive pressure. The temperature region of positive pressure. The temperature distribution is between the conduction and distribution is between the conduction and radiation temperature profiles. However, the radiation temperature profiles. However, the Fourier's law is still valid for the thickness of 4 Fourier's law is still valid for the thickness of 4 nm under negative pressure. nm under negative pressure. Keywords : molecular dynamics, nanoscale, Keywords : molecular dynamics, nanoscale, quasi-diffusive heat transfer, Fourier's law quasi-diffusive heat transfer, Fourier's law 二、緣起與目的： 二、缘起与目的： 以物理觀點而言，聲子(phonon)為量子 以物理观点而言，声子(phonon)为量子 化的晶格振動(lattice vibration)，這些聲子在 化的晶格振动(lattice vibration)，这些声子在 半導體或非導體中為主要熱傳導的熱攜帶者 半导体或非导体中为主要热传导的热携带者 (heat carrier) 但在導體材料（純金屬材料）， (heat carrier)但在导体材料（纯金属材料）， 自由電子成為主要熱攜帶者。 自由电子成为主要热携带者。 用量子觀點視 用量子观点视 之，聲子本身為波-粒二重性(wave-particle 之，声子本身为波-粒二重性(wave-particle duality)，依定義聲子本質上為波（振動波）， duality)，依定义声子本质上为波（振动波）， 但由於其coherence length 但由于其coherence length ) ) l( l( c c 極短，大約為 极短，大约为 O(0.1nm) O(1nm)，故在大多數奈米尺寸而 O(0.1nm) O(1nm)，故在大多数奈米尺寸而 言，可以用粒子物理圖像來處理，表示這些 言，可以用粒子物理图像来处理，表示这些 聲子在量子力學的波函數沒有彼此重疊干 声子在量子力学的波函数没有彼此重叠干
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2 2 涉，視為可區分性的粒子。 涉，视为可区分性的粒子。 因此奈米系統特 因此奈米系统特 徵尺寸(L)與coherence length 征尺寸(L)与coherence length ) ) l( l( c c 之比較， 之比较， 可決定我們是以聲子波或聲子粒來處理問題 可决定我们是以声子波或声子粒来处理问题 [5]。 [5]。 當奈米尺寸極小時 当奈米尺寸极小时 ) ) l( l( O O L L c c 61500; 61500; ，應用量子 ，应用量子 力學來解決聲子波問題， 若在 力学来解决声子波问题，若在 ) ) l( l( O O L L c c (partial coherence region) 則以 (partial coherence region)则以 phonon coherence theory 為理論基礎，當 phonon coherence theory为理论基础，当 ) ) l( l( O O L L c c 61502; 61502; ，聲子便可視為粒子，以聲子粒為 ，声子便可视为粒子，以声子粒为 其物理圖像。 其物理图像。 在大多數奈米尺寸而言，尺度會在 在大多数奈米尺寸而言，尺度会在 ) ) l( l( O O L L c c 61502; 61502; 區域，因此現階段學者大都以粒子 区域，因此现阶段学者大都以粒子 圖像來研究聲子，早期利用氣體動力論 图像来研究声子，早期利用气体动力论 (kinetic theory)，在假設每個聲子具有相同的 (kinetic theory)，在假设每个声子具有相同的 速度及能量，得到熱傳導係數 速度及能量，得到热传导系数 ) ) (61548; (61548; 與聲子平 与声子平 均自由路徑 均自由路径 ) ) l( l( m m 的關係為 的关系为 3/ 3/ lv lv c c m m 61501; 61501; 61548; 61548; ，其中 ，其中 c 為單位體積的比熱(specific heat)，v 為聲子 c为单位体积的比热(specific heat)，v为声子 速度（在此假設下，可用音速視之）。 速度（在此假设下，可用音速视之）。 此模式 此模式 稱為德拜模式(Debye model)[1]，依據此模式 称为德拜模式(Debye model)[1]，依据此模式 可得到一個簡單物理觀念為 可得到一个简单物理观念为 m m l l 61548; 61548; 。 。 但實際 但实际 上所有聲子並非可以一視同仁，主要由於能 上所有声子并非可以一视同仁，主要由于能 量隨波向量不同而不同，此為聲子的色散現 量随波向量不同而不同，此为声子的色散现 象(phonon dispersion)，所以精確的關係式為 象(phonon dispersion)，所以精确的关系式为 61669;61682; 61669;61682; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61501; 61501; 61548; 61548; b b m m d) d) ( ( l) l) (v (v ) ) (c (c 3 3 1 1 [2, 3]，其中 [2, 3]，其中 61523; 61523; 代 代 表所有聲子分枝群(phonon branch)均要相 表所有声子分枝群(phonon branch)均要相 加，積分須在每一聲子分枝群中積分整個頻 加，积分须在每一声子分枝群中积分整个频 譜寬。 谱宽。 無論是何種模式，物理上熱傳導係數 无论是何种模式，物理上热传导系数 與聲子粒平均自由路徑有直接緊密的關係， 与声子粒平均自由路径有直接紧密的关系， 因此決定聲子的平均自由路徑為固態物理重 因此决定声子的平均自由路径为固态物理重 要課題，以物理過程觀點，聲子平均自由路 要课题，以物理过程观点，声子平均自由路 徑主要由幾何散射和與其他聲子碰撞作用後 径主要由几何散射和与其他声子碰撞作用后 散射兩個過程來決定。 散射两个过程来决定。 以量的觀念，依簡易 以量的观念，依简易 德拜模式所得的聲子平均自由路徑會小於實 德拜模式所得的声子平均自由路径会小于实 際聲子平均自由路徑，在半導體材料上，約 际声子平均自由路径，在半导体材料上，约 為實際值的1/6 至1/8 [4]。 为实际值的1/6至1/8 [4]。 依據上述，我們可知聲子有兩個重要的 依据上述，我们可知声子有两个重要的 長度尺度，即coherence length 长度尺度，即coherence length ) ) l( l( c c 與平均自 与平均自 由路徑 由路径 ) ) l( l( m m 。 。 以一般材料內聲子而言，兩者 以一般材料内声子而言，两者 之間的關係為 之间的关系为 c c m m l l l 61502;61502; (例如GaAs 材料， l 61502;61502; (例如GaAs材料， 室溫下 室温下 c c l 在1nm2nm， l在1nm2nm， nm nm 145 145 l l m m )。 )。 當 当 奈米尺度為 奈米尺度为 ) ) l( l( O O L L ) ) l( l( O O c c m m 61502; 61502; 61502; 61502; 時，奈米系統 时，奈米系统 內聲子熱傳為彈道式熱傳(ballistic heat 内声子热传为弹道式热传(ballistic heat transfer)，聲子與邊界碰撞頻率大於在材料內 transfer)，声子与边界碰撞频率大于在材料内 部與其他聲子碰撞，理論分析以ray tracing 部与其他声子碰撞，理论分析以ray tracing 為主，類似熱輻射分析。 为主，类似热辐射分析。 當奈米尺度為 当奈米尺度为 ) ) l( l( O O L L m m 時，奈米系統內熱傳為似擴散過程 时，奈米系统内热传为似扩散过程 (quasi-diffusive process)，理論上以波茲曼傳 (quasi-diffusive process)，理论上以波兹曼传 輸方程式(Boltzmann transport equation)為 输方程式(Boltzmann transport equation)为 主，至目前為止因應半導體產業需求，已有 主，至目前为止因应半导体产业需求，已有 大量相關文獻研究在這尺度下的聲子及電子 大量相关文献研究在这尺度下的声子及电子 傳輸現象。 传输现象。 當 当 ) ) l( l( O O L L m m 61502; 61502; 時，即為一般巨觀所 时，即为一般巨观所 觀測的熱為一種擴散過程(diffusive 观测的热为一种扩散过程(diffusive process)，傳統的Fourier's law 即可適用。 process)，传统的Fourier's law即可适用。 由 由 以上奈米尺度分析，當奈米尺度同等或小於 以上奈米尺度分析，当奈米尺度同等或小于 聲子平均的平均自由路徑時，傳統Fourier’s 声子平均的平均自由路径时，传统Fourier's law 之觀念便無法適用，因為一般奈米顆粒 law之观念便无法适用，因为一般奈米颗粒 材料聲子平均自由路徑在幾十個奈米左右， 材料声子平均自由路径在几十个奈米左右， 大於或相近我們常用來提升流體熱傳的奈米 大于或相近我们常用来提升流体热传的奈米 顆粒粒徑，因此有必要在Fourier's law 以 颗粒粒径，因此有必要在Fourier's law以 外，以波茲曼傳輸方程式或類似輻射模式來 外，以波兹曼传输方程式或类似辐射模式来 處理似擴散及彈道式熱傳機制，或直接利用 处理似扩散及弹道式热传机制，或直接利用 分子動力學模擬。 分子动力学模拟。 以常用的聲子波茲曼傳輸方程式而 以常用的声子波兹曼传输方程式而 言，標準分析方法為變分(variational 言，标准分析方法为变分(variational procedure)，但此法使用與選用的離聲子平衡 procedure)，但此法使用与选用的离声子平衡 分佈之嘗試函數(trial function)有關，對於一 分布之尝试函数(trial function)有关，对于一 個簡單的等向(isotropic)固體而言，此嘗試函 个简单的等向(isotropic)固体而言，此尝试函 數可寫成 数可写成 ) ) A A q( q( )q )q (f (f 61554; 61554; 61554; 61554; 61655; ，這裡 61655; ，这里 A A 61554; 61554; 為常數向量 为常数向量 (constant vector)垂直於熱梯度， (constant vector)垂直于热梯度， )q )q (f 則為波 (f则为波 函數的模(modulus of wave function)所決 函数的模(modulus of wave function)所决 定，因此 定，因此 61669; 61669; 61501; 61501; r r r r q q a a )q )q (f (f 展開式適合變分方法 展开式适合变分方法 (variational method)來解決此問題。 (variational method)来解决此问题。 但在實際 但在实际 固態材料，在布里淵區(Brillouin zone)缺乏球 固态材料，在布里渊区(Brillouin zone)缺乏球 型對稱，因此無法以上述等向簡化處理，勢 型对称，因此无法以上述等向简化处理，势 必包含3 個座標考量，以致於嘗試函數之展 必包含3个座标考量，以致于尝试函数之展 開包含太多係數，分析變得十分複雜，幾乎 开包含太多系数，分析变得十分复杂，几乎 無人採用此法分析，取而代之為數值疊代方 无人采用此法分析，取而代之为数值叠代方 法[5]，無論數值結果如何，此種方法之結果 法[5]，无论数值结果如何，此种方法之结果 缺乏直接物理圖像。 缺乏直接物理图像。
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3 3 本計畫的目的在於利用分子動力學直接 本计画的目的在于利用分子动力学直接 模擬在似擴散區域即 模拟在似扩散区域即 ) ) l( l( O O L L m m 的微觀熱傳 的微观热传 現象，並討論傅立葉定律的有效性。 现象，并讨论傅立叶定律的有效性。 三 三 、 、 數值方法 数值方法 分子動力學方法[6]是利用分子在空間 分子动力学方法[6]是利用分子在空间 的邉忧樾危譃槲灰撇糠荨⑥D動部份以及 的运动情形，分为位移部份、转动部份以及 震動三部份，而通常震動部份我們忽略不 震动三部份，而通常震动部份我们忽略不 計，在位移部份，包括粒子的位置、速度、 计，在位移部份，包括粒子的位置、速度、 加速度，在轉動部份，包括粒子的角變化量、 加速度，在转动部份，包括粒子的角变化量、 角速度、角加速度以及力矩關係所造成的角 角速度、角加速度以及力矩关系所造成的角 動量變化量，並根據分子間的作用力，如凡 动量变化量，并根据分子间的作用力，如凡 得瓦力、庫倫力…等，來演算整個系統的表 得瓦力、库伦力…等，来演算整个系统的表 態特性。 态特性。 分子動力學是以牛頓第二定律描述 分子动力学是以牛顿第二定律描述 分子邉榆壽E，此定律其數學式可以表示如 分子运动轨迹，此定律其数学式可以表示如 下: 下: ( ) ( ) i i i i i i ur ur F F ma ma r r 61614; 61614; 61622; 61622; 61501;61485; 61501;61485; 61501; 61501; 61622; 61622; 61557;61558; 61557;61558; 61558; 61558; , i = 1, 2, 3,....., N , i = 1, 2, 3,....., N , u(r)為分子間的勢能函數，勢能函數依模擬 , u(r)为分子间的势能函数，势能函数依模拟 的分子不同有常用於單原子分子的 的分子不同有常用于单原子分子的 Lennard-Jones 勢能函數，金屬原子的Morse Lennard-Jones势能函数，金属原子的Morse 勢能函數，水分子的ST2、TIP4P 、SPC/E、 势能函数，水分子的ST2、TIP4P 、SPC/E、 CC 四種勢能函數[7]。 CC四种势能函数[7]。 至於不同種類的分子 至于不同种类的分子 間的勢能函數，本計畫有Lennard-Jones 型 间的势能函数，本计画有Lennard-Jones型 式的氬與白金之間的勢能函數氬與水與白金 式的氩与白金之间的势能函数氩与水与白金 之間SH 勢能函數[8]。 之间SH势能函数[8]。 單原子分子可直接 单原子分子可直接 利用上式計算加速度，對於剛體水分子僅能 利用上式计算加速度，对于刚体水分子仅能 計算其質心的加速度，另外需加上轉動部 计算其质心的加速度，另外需加上转动部 分，才能完全描述水分子邉印� 分，才能完全描述水分子运动。 在轉動部份， 在转动部份， 角速度計算根據尤拉邉訉W關係，但當角度 角速度计算根据尤拉运动学关系，但当角度 為或 61552;時，產生奇異點現象，數值不穩定， 为或 61552;时，产生奇异点现象，数值不稳定， 為避免此現象的產生，本計畫改用 为避免此现象的产生，本计画改用 Quaternion [6]的方法。 Quaternion [6]的方法。 為了提高數值咚阈� 为了提高数值运算效 率，我們利用常見的截斷勢能法及Velert 鄰 率，我们利用常见的截断势能法及Velert邻 近表列法[6]。 近表列法[6]。 各種數值方法以不同的階數� 各种数值方法以不同的阶数运 算，但是愈高階其所算出的結果將會是愈準 算，但是愈高阶其所算出的结果将会是愈准 確，所以我們在解N 個分子系統的邉臃匠� 确，所以我们在解N个分子系统的运动方程 式，通常是以 式，通常是以 s' s' Gear 預測修正法[6]來預測下 Gear预测修正法[6]来预测下 一時間步階時的分子位置、速度、加速度。 一时间步阶时的分子位置、速度、加速度。 我們使用週期性邊界條件因此必須滿足最小 我们使用周期性边界条件因此必须满足最小 映像法則(minimum image criterion)。 映像法则(minimum image criterion)。 初始條 初始条 件排列方式為面心立方結構，速度及尤拉角 件排列方式为面心立方结构，速度及尤拉角 皆以亂數產生，並修正為所要的NVT 系統。 皆以乱数产生，并修正为所要的NVT系统。 四、結果與討論 四、结果与讨论 在常溫、一大氣壓下，進行水分子的徑向 在常温、一大气压下，进行水分子的径向 分佈函數分析，由於水分子具有極性，分子 分布函数分析，由于水分子具有极性，分子 與分子間有著氫鍵作用，在一定的範圍內會 与分子间有着氢键作用，在一定的范围内会 有相聚現象，以氧對氧、氫對氫、及氫對氧 有相聚现象，以氧对氧、氢对氢、及氢对氧 所繪製出來的圖形，其波峰、波谷與相關文 所绘制出来的图形，其波峰、波谷与相关文 獻所模擬結果及利用x-ray 散色實驗分析之 献所模拟结果及利用x-ray散色实验分析之 結果，具有良好吻合性，顯示此分子動力學 结果，具有良好吻合性，显示此分子动力学 模式已趨成熟。 模式已趋成熟。 在薄層液體的分子分佈及聚集特性方面， 在薄层液体的分子分布及聚集特性方面， 在正壓力區(無因次P = 0.08)，根據數值模擬 在正压力区(无因次P = 0.08)，根据数值模拟 的結果（圖一、二）顯示流體分子在冷及熱 的结果（图一、二）显示流体分子在冷及热 端壁面有明顯的兩層晶格化現象產生，導致 端壁面有明显的两层晶格化现象产生，导致 晶格化現象的主因為壁面固體原子白金表面 晶格化现象的主因为壁面固体原子白金表面 能較大，造成吸附靠近壁面的流體分子，而 能较大，造成吸附靠近壁面的流体分子，而 成為一個排列緊密結構。 成为一个排列紧密结构。 同時冷端相對熱端 同时冷端相对热端 流體分子明顯有較為多聚集，晶格化現象更 流体分子明显有较为多聚集，晶格化现象更 嚴重，且兩端聚集的流體分子數明顯有些差 严重，且两端聚集的流体分子数明显有些差 距，冷端區域涵蓋的分子數大於熱端區域的 距，冷端区域涵盖的分子数大于热端区域的 分子數。 分子数。 在負壓力區(無因次P = -0.4)，由圖 在负压力区(无因次P = -0.4)，由图 三及四，流體分子在冷及熱端壁面也有的兩 三及四，流体分子在冷及热端壁面也有的两 層晶格化現象產生，甚至更加明顯，因此負 层晶格化现象产生，甚至更加明显，因此负 壓力區流體分子晶格層厚度較正壓力區流體 压力区流体分子晶格层厚度较正压力区流体 分子晶格層為大。 分子晶格层为大。 同時無論正壓力或負壓力 同时无论正压力或负压力 區，冷端相對熱端流體分子明顯有較為多聚 区，冷端相对热端流体分子明显有较为多聚 集，晶格化現象更嚴重，且兩端聚集的流體 集，晶格化现象更严重，且两端聚集的流体 分子數明顯有些差距，冷端區域涵蓋的分子 分子数明显有些差距，冷端区域涵盖的分子 數大於熱端區域的分子數。 数大于热端区域的分子数。 在薄層液體的熱流特性方面，在正壓力 在薄层液体的热流特性方面，在正压力 區，根據結果顯示(如圖五、六)可發現，流 区，根据结果显示(如图五、六)可发现，流 體厚度為8nm 時(圖五)，系統溫度為線性， 体厚度为8nm时(图五)，系统温度为线性， 傳統的傅立葉熱擴散定律成立。 传统的傅立叶热扩散定律成立。 然而流體厚 然而流体厚 度為4nm 時(圖六)，系統溫度不再為為線性 度为4nm时(图六)，系统温度不再为为线性 分佈，傳統的傅立葉熱擴散定律便不能成 分布，传统的傅立叶热扩散定律便不能成 立，溫度變化有集中在兩壁面的趨勢，因此 立，温度变化有集中在两壁面的趋势，因此 溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻射之間。 温度分布界于传统的热传导与热辐射之间。 根據數值模擬的結果，在正壓力區的流體厚 根据数值模拟的结果，在正压力区的流体厚 度在5nm 以下時，溫度不再為線性分佈，傅 度在5nm以下时，温度不再为线性分布，傅
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4 4 立葉定律不能成立。 立叶定律不能成立。 在負壓力區，結果顯示 在负压力区，结果显示 (如圖七、八)可發現，無論流體厚度為8nm(圖 (如图七、八)可发现，无论流体厚度为8nm(图 七)或4nm 時(圖八)，系統溫度均為線性，傳 七)或4nm时(图八)，系统温度均为线性，传 統的傅立葉熱擴散定律成立。 统的傅立叶热扩散定律成立。 因此流體進入 因此流体进入 似擴散熱傳區域，流體厚度並非唯一的主要 似扩散热传区域，流体厚度并非唯一的主要 因素，系統壓力的影響也是不容忽略，應一 因素，系统压力的影响也是不容忽略，应一 同探討。 同探讨。 五、結論 五、结论 本計畫的重要結果如下: 本计画的重要结果如下: 1. 在進行水分子的徑向分佈函數分析，由於 1.在进行水分子的径向分布函数分析，由于 水分子具有極性且分子間有氫鍵作用，會有 水分子具有极性且分子间有氢键作用，会有 相聚現象，以氧對氧、氫對氫、及氫對氧所 相聚现象，以氧对氧、氢对氢、及氢对氧所 繪製出來的圖形，其波峰、波谷與相關文獻 绘制出来的图形，其波峰、波谷与相关文献 的結果及利用x-ray 散色實驗分析之結果， 的结果及利用x-ray散色实验分析之结果， 具有良好吻合性，顯示此模式已趨成熟。 具有良好吻合性，显示此模式已趋成熟。 2. 在薄層液體的分子分佈及聚集特性方 2.在薄层液体的分子分布及聚集特性方 面，在正壓力區，流體分子在冷及熱端壁面 面，在正压力区，流体分子在冷及热端壁面 有明顯的兩層晶格化現象產生。 有明显的两层晶格化现象产生。 在負壓力 在负压力 區，流體分子在冷及熱端壁面也有的兩層晶 区，流体分子在冷及热端壁面也有的两层晶 格化現象產生，甚至更加明顯，因此負壓力 格化现象产生，甚至更加明显，因此负压力 區流體分子晶格層厚度較正壓力區流體分子 区流体分子晶格层厚度较正压力区流体分子 晶格層為大。 晶格层为大。 同時無論正壓力或負壓力區， 同时无论正压力或负压力区， 冷端相對熱端流體分子明顯有較為多聚集， 冷端相对热端流体分子明显有较为多聚集， 晶格化現象更嚴重，且兩端聚集的流體分子 晶格化现象更严重，且两端聚集的流体分子 數明顯有些差距，冷端區域涵蓋的分子數大 数明显有些差距，冷端区域涵盖的分子数大 於熱端區域的分子數。 于热端区域的分子数。 3. 在薄層液體的熱流特性方面，在正壓力區 3.在薄层液体的热流特性方面，在正压力区 的流體厚度在5nm 以下時，傅立葉熱擴散定 的流体厚度在5nm以下时，傅立叶热扩散定 律即無法成立，溫度不再為線性分佈，流體 律即无法成立，温度不再为线性分布，流体 溫度變化有集中在兩個溫度不同的固體壁 温度变化有集中在两个温度不同的固体壁 面，溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻射之 面，温度分布界于传统的热传导与热辐射之 間，但在負壓力區，此厚度尺度下(4nm)傅立 间，但在负压力区，此厚度尺度下(4nm)傅立 葉定律仍舊是有效的，因此流體進入似擴散 叶定律仍旧是有效的，因此流体进入似扩散 熱傳區域，流體厚度並非唯一的主要因素， 热传区域，流体厚度并非唯一的主要因素， 系統壓力的影響也是不容忽略，應一同探討。 系统压力的影响也是不容忽略，应一同探讨。 誌謝 志谢 本計畫感謝國科會經費上支持( NSC 93 本计画感谢国科会经费上支持( NSC 93 －2212－E－007－034 ) 。 －2212－E－007－034 ) 。 參考文獻 参考文献 1. C. Kittel, Introduction to Solid State 1. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 7th ed., John Wiley, 1996. Physics, 7th ed., John Wiley, 1996. 2. R. Berman, Thermal Conduction in Solids, 2. R. Berman, Thermal Conduction in Solids, Oxford, Clarendon Press, 1976. Oxford, Clarendon Press, 1976. 3. JM Ziman, Electrons and Phonons, 3. JM Ziman, Electrons and Phonons, Oxford, 1960. Oxford, 1960. 4. G. Chen, Phonon Heat Conduction in 4. G. Chen, Phonon Heat Conduction in Nanostructures, Int. J. Therm. Sci. 39 Nanostructures, Int. J. Therm. Sci. 39 (2000) 471- 480. (2000) 471- 480. 5. M. Omini and A. Sparavigna, An Iterative 5. M. Omini and A. Sparavigna, An Iterative Approach to the Phonon Boltzmann Approach to the Phonon Boltzmann Equation in the Theory of Thermal Equation in the Theory of Thermal Conductivity, Physica B 212 (1995) Conductivity, Physica B 212 (1995) 101-112. 101-112. 6. DC Rapaport, The Art of Molecular 6. DC Rapaport, The Art of Molecular Dynamics Dynamics Simulation. Simulation. Cambridge Cambridge University Press, Cambridge, 1995. University Press, Cambridge, 1995. 7. MP Allen and DJ Tildesley, Computer 7. MP Allen and DJ Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Clarendon Press, Simulation of Liquids, Clarendon Press, Oxford, 1987. Oxford, 1987. 8. E. Spohr, Computer Simulation of the 8. E. Spohr, Computer Simulation of the Water/Platinum Interface, J. Phys. Chem. Water/Platinum Interface, J. Phys. Chem. 93 (1989) 6171-6180. 93 (1989) 6171-6180. 計畫結果自評: 计画结果自评: 本計畫已達到利用分子動力學探討奈米 本计画已达到利用分子动力学探讨奈米 尺度液體層之似擴散熱傳現象，包括液體層 尺度液体层之似扩散热传现象，包括液体层 厚度及系統壓力，此兩項參數對液體層進入 厚度及系统压力，此两项参数对液体层进入 似擴散熱傳區域有密切關係，在似擴散熱傳 似扩散热传区域有密切关系，在似扩散热传 區域內，溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻 区域内，温度分布界于传统的热传导与热辐 射之間，傅立葉熱擴散定律無法成立。 射之间，傅立叶热扩散定律无法成立。
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5 5 圖一正壓力區粒子密度梯度分佈(80 nm) 图一正压力区粒子密度梯度分布(80 nm) 圖二正壓力區粒子密度梯度分佈(40 nm) 图二正压力区粒子密度梯度分布(40 nm) 圖三負壓力區粒子密度分佈(80 nm) 图三负压力区粒子密度分布(80 nm) 圖四負壓力區粒子密度分佈(40 nm) 图四负压力区粒子密度分布(40 nm)
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6 6 圖五正壓力區溫度分佈(8nm) 图五正压力区温度分布(8nm) 圖六正壓力區溫度分佈(4nm) 图六正压力区温度分布(4nm) 圖七負壓力區溫度分佈(8 nm) 图七负压力区温度分布(8 nm) 圖八負壓力區溫度分佈(4 nm) 图八负压力区温度分布(4 nm)
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2 2 涉，視為可區分性的粒子。 涉，视为可区分性的粒子。 因此奈米系統特 因此奈米系统特 徵尺寸(L)與coherence length 征尺寸(L)与coherence length ) ) l( l( c c 之比較， 之比较， 可決定我們是以聲子波或聲子粒來處理問題 可决定我们是以声子波或声子粒来处理问题 [5]。 [5]。 當奈米尺寸極小時 当奈米尺寸极小时 ) ) l( l( O O L L c c 61500; 61500; ，應用量子 ，应用量子 力學來解決聲子波問題， 若在 力学来解决声子波问题，若在 ) ) l( l( O O L L c c (partial coherence region) 則以 (partial coherence region)则以 phonon coherence theory 為理論基礎，當 phonon coherence theory为理论基础，当 ) ) l( l( O O L L c c 61502; 61502; ，聲子便可視為粒子，以聲子粒為 ，声子便可视为粒子，以声子粒为 其物理圖像。 其物理图像。 在大多數奈米尺寸而言，尺度會在 在大多数奈米尺寸而言，尺度会在 ) ) l( l( O O L L c c 61502; 61502; 區域，因此現階段學者大都以粒子 区域，因此现阶段学者大都以粒子 圖像來研究聲子，早期利用氣體動力論 图像来研究声子，早期利用气体动力论 (kinetic theory)，在假設每個聲子具有相同的 (kinetic theory)，在假设每个声子具有相同的 速度及能量，得到熱傳導係數 速度及能量，得到热传导系数 ) ) (61548; (61548; 與聲子平 与声子平 均自由路徑 均自由路径 ) ) l( l( m m 的關係為 的关系为 3/ 3/ lv lv c c m m 61501; 61501; 61548; 61548; ，其中 ，其中 c 為單位體積的比熱(specific heat)，v 為聲子 c为单位体积的比热(specific heat)，v为声子 速度（在此假設下，可用音速視之）。 速度（在此假设下，可用音速视之）。 此模式 此模式 稱為德拜模式(Debye model)[1]，依據此模式 称为德拜模式(Debye model)[1]，依据此模式 可得到一個簡單物理觀念為 可得到一个简单物理观念为 m m l l 61548; 61548; 。 。 但實際 但实际 上所有聲子並非可以一視同仁，主要由於能 上所有声子并非可以一视同仁，主要由于能 量隨波向量不同而不同，此為聲子的色散現 量随波向量不同而不同，此为声子的色散现 象(phonon dispersion)，所以精確的關係式為 象(phonon dispersion)，所以精确的关系式为 61669;61682; 61669;61682; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61559; 61501; 61501; 61548; 61548; b b m m d) d) ( ( l) l) (v (v ) ) (c (c 3 3 1 1 [2, 3]，其中 [2, 3]，其中 61523; 61523; 代 代 表所有聲子分枝群(phonon branch)均要相 表所有声子分枝群(phonon branch)均要相 加，積分須在每一聲子分枝群中積分整個頻 加，积分须在每一声子分枝群中积分整个频 譜寬。 谱宽。 無論是何種模式，物理上熱傳導係數 无论是何种模式，物理上热传导系数 與聲子粒平均自由路徑有直接緊密的關係， 与声子粒平均自由路径有直接紧密的关系， 因此決定聲子的平均自由路徑為固態物理重 因此决定声子的平均自由路径为固态物理重 要課題，以物理過程觀點，聲子平均自由路 要课题，以物理过程观点，声子平均自由路 徑主要由幾何散射和與其他聲子碰撞作用後 径主要由几何散射和与其他声子碰撞作用后 散射兩個過程來決定。 散射两个过程来决定。 以量的觀念，依簡易 以量的观念，依简易 德拜模式所得的聲子平均自由路徑會小於實 德拜模式所得的声子平均自由路径会小于实 際聲子平均自由路徑，在半導體材料上，約 际声子平均自由路径，在半导体材料上，约 為實際值的1/6 至1/8 [4]。 为实际值的1/6至1/8 [4]。 依據上述，我們可知聲子有兩個重要的 依据上述，我们可知声子有两个重要的 長度尺度，即coherence length 长度尺度，即coherence length ) ) l( l( c c 與平均自 与平均自 由路徑 由路径 ) ) l( l( m m 。 。 以一般材料內聲子而言，兩者 以一般材料内声子而言，两者 之間的關係為 之间的关系为 c c m m l l l 61502;61502; (例如GaAs 材料， l 61502;61502; (例如GaAs材料， 室溫下 室温下 c c l 在1nm2nm， l在1nm2nm， nm nm 145 145 l l m m )。 )。 當 当 奈米尺度為 奈米尺度为 ) ) l( l( O O L L ) ) l( l( O O c c m m 61502; 61502; 61502; 61502; 時，奈米系統 时，奈米系统 內聲子熱傳為彈道式熱傳(ballistic heat 内声子热传为弹道式热传(ballistic heat transfer)，聲子與邊界碰撞頻率大於在材料內 transfer)，声子与边界碰撞频率大于在材料内 部與其他聲子碰撞，理論分析以ray tracing 部与其他声子碰撞，理论分析以ray tracing 為主，類似熱輻射分析。 为主，类似热辐射分析。 當奈米尺度為 当奈米尺度为 ) ) l( l( O O L L m m 時，奈米系統內熱傳為似擴散過程 时，奈米系统内热传为似扩散过程 (quasi-diffusive process)，理論上以波茲曼傳 (quasi-diffusive process)，理论上以波兹曼传 輸方程式(Boltzmann transport equation)為 输方程式(Boltzmann transport equation)为 主，至目前為止因應半導體產業需求，已有 主，至目前为止因应半导体产业需求，已有 大量相關文獻研究在這尺度下的聲子及電子 大量相关文献研究在这尺度下的声子及电子 傳輸現象。 传输现象。 當 当 ) ) l( l( O O L L m m 61502; 61502; 時，即為一般巨觀所 时，即为一般巨观所 觀測的熱為一種擴散過程(diffusive 观测的热为一种扩散过程(diffusive process)，傳統的Fourier's law 即可適用。 process)，传统的Fourier's law即可适用。 由 由 以上奈米尺度分析，當奈米尺度同等或小於 以上奈米尺度分析，当奈米尺度同等或小于 聲子平均的平均自由路徑時，傳統Fourier’s 声子平均的平均自由路径时，传统Fourier's law 之觀念便無法適用，因為一般奈米顆粒 law之观念便无法适用，因为一般奈米颗粒 材料聲子平均自由路徑在幾十個奈米左右， 材料声子平均自由路径在几十个奈米左右， 大於或相近我們常用來提升流體熱傳的奈米 大于或相近我们常用来提升流体热传的奈米 顆粒粒徑，因此有必要在Fourier's law 以 颗粒粒径，因此有必要在Fourier's law以 外，以波茲曼傳輸方程式或類似輻射模式來 外，以波兹曼传输方程式或类似辐射模式来 處理似擴散及彈道式熱傳機制，或直接利用 处理似扩散及弹道式热传机制，或直接利用 分子動力學模擬。 分子动力学模拟。 以常用的聲子波茲曼傳輸方程式而 以常用的声子波兹曼传输方程式而 言，標準分析方法為變分(variational 言，标准分析方法为变分(variational procedure)，但此法使用與選用的離聲子平衡 procedure)，但此法使用与选用的离声子平衡 分佈之嘗試函數(trial function)有關，對於一 分布之尝试函数(trial function)有关，对于一 個簡單的等向(isotropic)固體而言，此嘗試函 个简单的等向(isotropic)固体而言，此尝试函 數可寫成 数可写成 ) ) A A q( q( )q )q (f (f 61554; 61554; 61554; 61554; 61655; ，這裡 61655; ，这里 A A 61554; 61554; 為常數向量 为常数向量 (constant vector)垂直於熱梯度， (constant vector)垂直于热梯度， )q )q (f 則為波 (f则为波 函數的模(modulus of wave function)所決 函数的模(modulus of wave function)所决 定，因此 定，因此 61669; 61669; 61501; 61501; r r r r q q a a )q )q (f (f 展開式適合變分方法 展开式适合变分方法 (variational method)來解決此問題。 (variational method)来解决此问题。 但在實際 但在实际 固態材料，在布里淵區(Brillouin zone)缺乏球 固态材料，在布里渊区(Brillouin zone)缺乏球 型對稱，因此無法以上述等向簡化處理，勢 型对称，因此无法以上述等向简化处理，势 必包含3 個座標考量，以致於嘗試函數之展 必包含3个座标考量，以致于尝试函数之展 開包含太多係數，分析變得十分複雜，幾乎 开包含太多系数，分析变得十分复杂，几乎 無人採用此法分析，取而代之為數值疊代方 无人采用此法分析，取而代之为数值叠代方 法[5]，無論數值結果如何，此種方法之結果 法[5]，无论数值结果如何，此种方法之结果 缺乏直接物理圖像。 缺乏直接物理图像。
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3 3 本計畫的目的在於利用分子動力學直接 本计画的目的在于利用分子动力学直接 模擬在似擴散區域即 模拟在似扩散区域即 ) ) l( l( O O L L m m 的微觀熱傳 的微观热传 現象，並討論傅立葉定律的有效性。 现象，并讨论傅立叶定律的有效性。 三 三 、 、 數值方法 数值方法 分子動力學方法[6]是利用分子在空間 分子动力学方法[6]是利用分子在空间 的邉忧樾危譃槲灰撇糠荨⑥D動部份以及 的运动情形，分为位移部份、转动部份以及 震動三部份，而通常震動部份我們忽略不 震动三部份，而通常震动部份我们忽略不 計，在位移部份，包括粒子的位置、速度、 计，在位移部份，包括粒子的位置、速度、 加速度，在轉動部份，包括粒子的角變化量、 加速度，在转动部份，包括粒子的角变化量、 角速度、角加速度以及力矩關係所造成的角 角速度、角加速度以及力矩关系所造成的角 動量變化量，並根據分子間的作用力，如凡 动量变化量，并根据分子间的作用力，如凡 得瓦力、庫倫力…等，來演算整個系統的表 得瓦力、库伦力…等，来演算整个系统的表 態特性。 态特性。 分子動力學是以牛頓第二定律描述 分子动力学是以牛顿第二定律描述 分子邉榆壽E，此定律其數學式可以表示如 分子运动轨迹，此定律其数学式可以表示如 下: 下: ( ) ( ) i i i i i i ur ur F F ma ma r r 61614; 61614; 61622; 61622; 61501;61485; 61501;61485; 61501; 61501; 61622; 61622; 61557;61558; 61557;61558; 61558; 61558; , i = 1, 2, 3,....., N , i = 1, 2, 3,....., N , u(r)為分子間的勢能函數，勢能函數依模擬 , u(r)为分子间的势能函数，势能函数依模拟 的分子不同有常用於單原子分子的 的分子不同有常用于单原子分子的 Lennard-Jones 勢能函數，金屬原子的Morse Lennard-Jones势能函数，金属原子的Morse 勢能函數，水分子的ST2、TIP4P 、SPC/E、 势能函数，水分子的ST2、TIP4P 、SPC/E、 CC 四種勢能函數[7]。 CC四种势能函数[7]。 至於不同種類的分子 至于不同种类的分子 間的勢能函數，本計畫有Lennard-Jones 型 间的势能函数，本计画有Lennard-Jones型 式的氬與白金之間的勢能函數氬與水與白金 式的氩与白金之间的势能函数氩与水与白金 之間SH 勢能函數[8]。 之间SH势能函数[8]。 單原子分子可直接 单原子分子可直接 利用上式計算加速度，對於剛體水分子僅能 利用上式计算加速度，对于刚体水分子仅能 計算其質心的加速度，另外需加上轉動部 计算其质心的加速度，另外需加上转动部 分，才能完全描述水分子邉印� 分，才能完全描述水分子运动。 在轉動部份， 在转动部份， 角速度計算根據尤拉邉訉W關係，但當角度 角速度计算根据尤拉运动学关系，但当角度 為或 61552;時，產生奇異點現象，數值不穩定， 为或 61552;时，产生奇异点现象，数值不稳定， 為避免此現象的產生，本計畫改用 为避免此现象的产生，本计画改用 Quaternion [6]的方法。 Quaternion [6]的方法。 為了提高數值咚阈� 为了提高数值运算效 率，我們利用常見的截斷勢能法及Velert 鄰 率，我们利用常见的截断势能法及Velert邻 近表列法[6]。 近表列法[6]。 各種數值方法以不同的階數� 各种数值方法以不同的阶数运 算，但是愈高階其所算出的結果將會是愈準 算，但是愈高阶其所算出的结果将会是愈准 確，所以我們在解N 個分子系統的邉臃匠� 确，所以我们在解N个分子系统的运动方程 式，通常是以 式，通常是以 s' s' Gear 預測修正法[6]來預測下 Gear预测修正法[6]来预测下 一時間步階時的分子位置、速度、加速度。 一时间步阶时的分子位置、速度、加速度。 我們使用週期性邊界條件因此必須滿足最小 我们使用周期性边界条件因此必须满足最小 映像法則(minimum image criterion)。 映像法则(minimum image criterion)。 初始條 初始条 件排列方式為面心立方結構，速度及尤拉角 件排列方式为面心立方结构，速度及尤拉角 皆以亂數產生，並修正為所要的NVT 系統。 皆以乱数产生，并修正为所要的NVT系统。 四、結果與討論 四、结果与讨论 在常溫、一大氣壓下，進行水分子的徑向 在常温、一大气压下，进行水分子的径向 分佈函數分析，由於水分子具有極性，分子 分布函数分析，由于水分子具有极性，分子 與分子間有著氫鍵作用，在一定的範圍內會 与分子间有着氢键作用，在一定的范围内会 有相聚現象，以氧對氧、氫對氫、及氫對氧 有相聚现象，以氧对氧、氢对氢、及氢对氧 所繪製出來的圖形，其波峰、波谷與相關文 所绘制出来的图形，其波峰、波谷与相关文 獻所模擬結果及利用x-ray 散色實驗分析之 献所模拟结果及利用x-ray散色实验分析之 結果，具有良好吻合性，顯示此分子動力學 结果，具有良好吻合性，显示此分子动力学 模式已趨成熟。 模式已趋成熟。 在薄層液體的分子分佈及聚集特性方面， 在薄层液体的分子分布及聚集特性方面， 在正壓力區(無因次P = 0.08)，根據數值模擬 在正压力区(无因次P = 0.08)，根据数值模拟 的結果（圖一、二）顯示流體分子在冷及熱 的结果（图一、二）显示流体分子在冷及热 端壁面有明顯的兩層晶格化現象產生，導致 端壁面有明显的两层晶格化现象产生，导致 晶格化現象的主因為壁面固體原子白金表面 晶格化现象的主因为壁面固体原子白金表面 能較大，造成吸附靠近壁面的流體分子，而 能较大，造成吸附靠近壁面的流体分子，而 成為一個排列緊密結構。 成为一个排列紧密结构。 同時冷端相對熱端 同时冷端相对热端 流體分子明顯有較為多聚集，晶格化現象更 流体分子明显有较为多聚集，晶格化现象更 嚴重，且兩端聚集的流體分子數明顯有些差 严重，且两端聚集的流体分子数明显有些差 距，冷端區域涵蓋的分子數大於熱端區域的 距，冷端区域涵盖的分子数大于热端区域的 分子數。 分子数。 在負壓力區(無因次P = -0.4)，由圖 在负压力区(无因次P = -0.4)，由图 三及四，流體分子在冷及熱端壁面也有的兩 三及四，流体分子在冷及热端壁面也有的两 層晶格化現象產生，甚至更加明顯，因此負 层晶格化现象产生，甚至更加明显，因此负 壓力區流體分子晶格層厚度較正壓力區流體 压力区流体分子晶格层厚度较正压力区流体 分子晶格層為大。 分子晶格层为大。 同時無論正壓力或負壓力 同时无论正压力或负压力 區，冷端相對熱端流體分子明顯有較為多聚 区，冷端相对热端流体分子明显有较为多聚 集，晶格化現象更嚴重，且兩端聚集的流體 集，晶格化现象更严重，且两端聚集的流体 分子數明顯有些差距，冷端區域涵蓋的分子 分子数明显有些差距，冷端区域涵盖的分子 數大於熱端區域的分子數。 数大于热端区域的分子数。 在薄層液體的熱流特性方面，在正壓力 在薄层液体的热流特性方面，在正压力 區，根據結果顯示(如圖五、六)可發現，流 区，根据结果显示(如图五、六)可发现，流 體厚度為8nm 時(圖五)，系統溫度為線性， 体厚度为8nm时(图五)，系统温度为线性， 傳統的傅立葉熱擴散定律成立。 传统的傅立叶热扩散定律成立。 然而流體厚 然而流体厚 度為4nm 時(圖六)，系統溫度不再為為線性 度为4nm时(图六)，系统温度不再为为线性 分佈，傳統的傅立葉熱擴散定律便不能成 分布，传统的傅立叶热扩散定律便不能成 立，溫度變化有集中在兩壁面的趨勢，因此 立，温度变化有集中在两壁面的趋势，因此 溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻射之間。 温度分布界于传统的热传导与热辐射之间。 根據數值模擬的結果，在正壓力區的流體厚 根据数值模拟的结果，在正压力区的流体厚 度在5nm 以下時，溫度不再為線性分佈，傅 度在5nm以下时，温度不再为线性分布，傅
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4 4 立葉定律不能成立。 立叶定律不能成立。 在負壓力區，結果顯示 在负压力区，结果显示 (如圖七、八)可發現，無論流體厚度為8nm(圖 (如图七、八)可发现，无论流体厚度为8nm(图 七)或4nm 時(圖八)，系統溫度均為線性，傳 七)或4nm时(图八)，系统温度均为线性，传 統的傅立葉熱擴散定律成立。 统的傅立叶热扩散定律成立。 因此流體進入 因此流体进入 似擴散熱傳區域，流體厚度並非唯一的主要 似扩散热传区域，流体厚度并非唯一的主要 因素，系統壓力的影響也是不容忽略，應一 因素，系统压力的影响也是不容忽略，应一 同探討。 同探讨。 五、結論 五、结论 本計畫的重要結果如下: 本计画的重要结果如下: 1. 在進行水分子的徑向分佈函數分析，由於 1.在进行水分子的径向分布函数分析，由于 水分子具有極性且分子間有氫鍵作用，會有 水分子具有极性且分子间有氢键作用，会有 相聚現象，以氧對氧、氫對氫、及氫對氧所 相聚现象，以氧对氧、氢对氢、及氢对氧所 繪製出來的圖形，其波峰、波谷與相關文獻 绘制出来的图形，其波峰、波谷与相关文献 的結果及利用x-ray 散色實驗分析之結果， 的结果及利用x-ray散色实验分析之结果， 具有良好吻合性，顯示此模式已趨成熟。 具有良好吻合性，显示此模式已趋成熟。 2. 在薄層液體的分子分佈及聚集特性方 2.在薄层液体的分子分布及聚集特性方 面，在正壓力區，流體分子在冷及熱端壁面 面，在正压力区，流体分子在冷及热端壁面 有明顯的兩層晶格化現象產生。 有明显的两层晶格化现象产生。 在負壓力 在负压力 區，流體分子在冷及熱端壁面也有的兩層晶 区，流体分子在冷及热端壁面也有的两层晶 格化現象產生，甚至更加明顯，因此負壓力 格化现象产生，甚至更加明显，因此负压力 區流體分子晶格層厚度較正壓力區流體分子 区流体分子晶格层厚度较正压力区流体分子 晶格層為大。 晶格层为大。 同時無論正壓力或負壓力區， 同时无论正压力或负压力区， 冷端相對熱端流體分子明顯有較為多聚集， 冷端相对热端流体分子明显有较为多聚集， 晶格化現象更嚴重，且兩端聚集的流體分子 晶格化现象更严重，且两端聚集的流体分子 數明顯有些差距，冷端區域涵蓋的分子數大 数明显有些差距，冷端区域涵盖的分子数大 於熱端區域的分子數。 于热端区域的分子数。 3. 在薄層液體的熱流特性方面，在正壓力區 3.在薄层液体的热流特性方面，在正压力区 的流體厚度在5nm 以下時，傅立葉熱擴散定 的流体厚度在5nm以下时，傅立叶热扩散定 律即無法成立，溫度不再為線性分佈，流體 律即无法成立，温度不再为线性分布，流体 溫度變化有集中在兩個溫度不同的固體壁 温度变化有集中在两个温度不同的固体壁 面，溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻射之 面，温度分布界于传统的热传导与热辐射之 間，但在負壓力區，此厚度尺度下(4nm)傅立 间，但在负压力区，此厚度尺度下(4nm)傅立 葉定律仍舊是有效的，因此流體進入似擴散 叶定律仍旧是有效的，因此流体进入似扩散 熱傳區域，流體厚度並非唯一的主要因素， 热传区域，流体厚度并非唯一的主要因素， 系統壓力的影響也是不容忽略，應一同探討。 系统压力的影响也是不容忽略，应一同探讨。 誌謝 志谢 本計畫感謝國科會經費上支持( NSC 93 本计画感谢国科会经费上支持( NSC 93 －2212－E－007－034 ) 。 －2212－E－007－034 ) 。 參考文獻 参考文献 1. C. Kittel, Introduction to Solid State 1. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 7th ed., John Wiley, 1996. Physics, 7th ed., John Wiley, 1996. 2. R. Berman, Thermal Conduction in Solids, 2. R. Berman, Thermal Conduction in Solids, Oxford, Clarendon Press, 1976. Oxford, Clarendon Press, 1976. 3. JM Ziman, Electrons and Phonons, 3. JM Ziman, Electrons and Phonons, Oxford, 1960. Oxford, 1960. 4. G. Chen, Phonon Heat Conduction in 4. G. Chen, Phonon Heat Conduction in Nanostructures, Int. J. Therm. Sci. 39 Nanostructures, Int. J. Therm. Sci. 39 (2000) 471- 480. (2000) 471- 480. 5. M. Omini and A. Sparavigna, An Iterative 5. M. Omini and A. Sparavigna, An Iterative Approach to the Phonon Boltzmann Approach to the Phonon Boltzmann Equation in the Theory of Thermal Equation in the Theory of Thermal Conductivity, Physica B 212 (1995) Conductivity, Physica B 212 (1995) 101-112. 101-112. 6. DC Rapaport, The Art of Molecular 6. DC Rapaport, The Art of Molecular Dynamics Dynamics Simulation. Simulation. Cambridge Cambridge University Press, Cambridge, 1995. University Press, Cambridge, 1995. 7. MP Allen and DJ Tildesley, Computer 7. MP Allen and DJ Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Clarendon Press, Simulation of Liquids, Clarendon Press, Oxford, 1987. Oxford, 1987. 8. E. Spohr, Computer Simulation of the 8. E. Spohr, Computer Simulation of the Water/Platinum Interface, J. Phys. Chem. Water/Platinum Interface, J. Phys. Chem. 93 (1989) 6171-6180. 93 (1989) 6171-6180. 計畫結果自評: 计画结果自评: 本計畫已達到利用分子動力學探討奈米 本计画已达到利用分子动力学探讨奈米 尺度液體層之似擴散熱傳現象，包括液體層 尺度液体层之似扩散热传现象，包括液体层 厚度及系統壓力，此兩項參數對液體層進入 厚度及系统压力，此两项参数对液体层进入 似擴散熱傳區域有密切關係，在似擴散熱傳 似扩散热传区域有密切关系，在似扩散热传 區域內，溫度分佈界於傳統的熱傳導與熱輻 区域内，温度分布界于传统的热传导与热辐 射之間，傅立葉熱擴散定律無法成立。 射之间，傅立叶热扩散定律无法成立。
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5 5 圖一正壓力區粒子密度梯度分佈(80 nm) 图一正压力区粒子密度梯度分布(80 nm) 圖二正壓力區粒子密度梯度分佈(40 nm) 图二正压力区粒子密度梯度分布(40 nm) 圖三負壓力區粒子密度分佈(80 nm) 图三负压力区粒子密度分布(80 nm) 圖四負壓力區粒子密度分佈(40 nm) 图四负压力区粒子密度分布(40 nm)
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6 6 圖五正壓力區溫度分佈(8nm) 图五正压力区温度分布(8nm) 圖六正壓力區溫度分佈(4nm) 图六正压力区温度分布(4nm) 圖七負壓力區溫度分佈(8 nm) 图七负压力区温度分布(8 nm) 圖八負壓力區溫度分佈(4 nm) 图八负压力区温度分布(4 nm)
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• 波函数就是期望，所有的可能性都是线性叠加在一起的 -marketreflections- ♂ 
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• 叠加原理 傅里叶分析 将线性系统中一个非常一般的刺激写成一些特定的简单形式的刺激 -marketreflections- ♂ (5597 bytes) (6 reads) 9/27/09 17:43:32
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• 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积 -marketreflections- ♂ (3429 bytes) (9 reads) 9/27/09 17:52:38
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